行列式と固有値, 固有ベクトル (ディープラーニング勉強 Day2)
・行列式・・・行列の特徴を表す指標（大きさみたいなもの）で、数（スカラー）で表す。
例えば以下のような行列があるとする。
$$ A = \begin{bmatrix} a & b \\\ c & d \end{bmatrix} $$
これを行列式で表すと以下のようになる。
$$ \left| A \right| =\begin{vmatrix} a & b \\\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $$
行列式は平行四辺形の面積と一致する。
・単位行列・・・積が同じ行列になる行列
$$ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & ... \end{bmatrix} $$
例は以下のような感じ。
$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 \\\ 2 & 4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 3 \\\ 2 & 4 \end{bmatrix} $$
$$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\ 0 & 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 3 \\\ 2 & 4 \end{bmatrix} $$
・固有値、固有ベクトル
行列Aとベクトルxの積は固有値λ(スカラー)とベクトルxの積と一致することがある。この場合、λxと表記する方が行列の積より簡単である。
$$ Ax = λx $$
$$ (A -λI)x = 0 (ただし x != 0) $$
$$ \left| A - λI \right| = 0 $$
例えば行列Aが以下のようだと、
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\\ 2 & 3 \end{bmatrix} $$
$$ \left| A - λI \right| = 0 $$
$$ \begin{vmatrix} 1 - λ & 4 \\\ 2 & 3 - λ \end{vmatrix} = 0 $$
$$\left (1 - λ)(3 - λ) - 4 × 2 = 0 \right| = 0 $$
$$ λ= 5 または -1 $$
これはつまり、
$$ \begin{bmatrix} 1 & 4 \\\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x1 \\\ x2 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} x1 \\\ x2 \end{bmatrix} $$
$$ \begin{bmatrix} 1 & 4 \\\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x1 \\\ x2 \end{bmatrix} = -1 \begin{bmatrix} x1 \\\ x2 \end{bmatrix} $$
まず一つ目の方、これをとくと、
$$ x1 + 4x2 = 5x1$$
$$ 2x1 + 3x2 = 5x2 $$
以下の条件の時に固有ベクトルとなる
$$ x1 = x2 $$
次に二つ目の方、これをとくと、
$$ x1 + 4x2 = -x1$$
$$ 2x1 + 3x2 = -x2 $$
以下の条件の時に固有ベクトルとなる
$$ x1 = -2x2 $$
λ=5の時、(1, 1)の定数倍。
λ=-1の時、(1, -2)の定数倍。
$$ \begin{bmatrix} 1 & 4 \\\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\\ 1 \end{bmatrix} = 5\begin{bmatrix} 1 \\\ 1 \end{bmatrix} $$
とかけるし、
$$ \begin{bmatrix} 1 & 4 \\\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\\ -1 \end{bmatrix} = -1 \begin{bmatrix} 2 \\\ -1 \end{bmatrix} $$
ともかける。
関係性がわかりやすく、複雑な情報を単純に表せるようになった。
